Question

已知函数在处的切线与轴平行．
(1)求的值和函数的单调区间；
(2)若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求的取值范围．

Answer 1

(1)；函数的单调递增区间为；的单调递减区间为；(2)的取值范围．

试题分析：(1)首先求函数的导数，由已知条件函数在处的切线与轴平行，解方程可得的值；解不等式可得函数的单调递增区间，解不等式可得函数的单调递减区间为；(2) 令，则由题意等价于有三个不同的根，即的极小值为小于0，且的极大值为大于0．因此利用导数求函数的极大极小值，列不等式组并求解即得的取值范围．
试题解析：(1)，                                 （2分）
由，解得.                         （3分）
则，
故的单调递增区间为；的单调递减区间为．
（判断过程给两分）       （7分）
(2)令，     （8分）
则原题意等价于有三个不同的根．
∵，                     （9分）
∴在上递增，在上递减．       （10分）
则的极小值为，且的极大值为，
解得. 的取值范围．                     （13分）