Question

在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为

x=acosφ y=bsinφ

（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C₁上的点M（2，

3

）对应的参数φ=

π

3

．且以O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=

π

4

与曲线C₂交于点D（

2

，

π

4

）．
（1）求曲线C₁的普通方程，C₂的极坐标方程；
（2）若A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

）是曲线C₁上的两点，求

1

ρ12

+

1

ρ22

的值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由曲线C₁上的点M（2，

3

）对应的参数φ=

π

3

可得：

2=acos π 3 3 =bsin π 3

，解得即可得到曲线C₁的普通方程．设圆C₂的半径为R，由于射线θ=

π

4

与曲线C₂交于点D（

2

，

π

4

），可得

2

=2Rcos

π

4

，解得即可得到圆C₂的极坐标方程．
（2）曲线C₁的极坐标方程为：

(ρcosθ)2

16

+

(ρsinθ)2

4

=1，化为

1

ρ2

=

cos2θ

16

+

sin2θ

4

，把A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

）代入曲线C₁即可得出．

解答： 解：（1）由曲线C₁上的点M（2，

3

）对应的参数φ=

π

3

可得：

2=acos π 3 3 =bsin π 3

，解得

a=4 b=2

，
∴曲线C₁的普通方程为

x2

16

+

y2

4

=1．
设圆C₂的半径为R，由于射线θ=

π

4

与曲线C₂交于点D（

2

，

π

4

）．
可得

2

=2Rcos

π

4

，解得R=1．
∴圆C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（2）曲线C₁的极坐标方程为：

(ρcosθ)2

16

+

(ρsinθ)2

4

=1，化为

1

ρ2

=

cos2θ

16

+

sin2θ

4

，
∵A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

）是曲线C₁上的两点，
∴

1

ρ12

+

1

ρ22

=(

cos2θ

16

+

sin2θ

4

)+(

cos2(θ+ π 2 )

16

+

sin2(θ+ π 2 )

4

)
=(

cos2θ

16

+

sin2θ

4

)+(

sin2θ

16

+

cos2θ

4

)
=

1

16

+

1

4

=

5

16

．

点评：本题考查了椭圆的极坐标方程与参数方程及其直角坐标方程的互化和应用，考查了计算能力，属于中档题．