Question

5．设关于x的方程k•9^x-k•3^x+1+6（k-5）=0在[0，2]内有解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 设t=3^x，由指数函数的单调性，可得t的范围，将方程化为k=$\frac{30}{{t}^{2}-3t+6}$在[1，9]有解，设f（t）=t²-3t+6，求出在[1，9]的值域，即可得到所求k的范围．

解答 解：设t=3^x，由x∈[0，2]，可得t∈[1，9]，
方程k•9^x-k•3^x+1+6（k-5）=0，即为kt²-3kt+6（k-5）=0，
即k=$\frac{30}{{t}^{2}-3t+6}$在[1，9]有解，
由f（t）=t²-3t+6=（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{15}{4}$，
当t=$\frac{3}{2}$∈[1，9]时，f（t）取得最小值$\frac{15}{4}$，
f（1）=4，f（9）=60，可得f（t）的最大值为60．
可得k的最小值为$\frac{30}{60}$=$\frac{1}{2}$，
k的最大值为$\frac{30}{\frac{15}{4}}$=8，
即有k的取值范围是[$\frac{1}{2}$，8]．

点评 本题考查函数方程的转化思想，注意运用换元法和指数函数、二次函数的值域求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．