Question

20．如图，等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，圆心O为AB的中点，AC切圆O于点D．
（I）证明：BC为圆O的切线；
（Ⅱ）连接BD，作CH⊥DB，H为垂足，作HF⊥BC，F为垂足，求$\frac{BF}{DH}$的值．

Answer 1

分析 （I）连接CO，证明：O到BC的距离对于半径，即可证明BC为圆O的切线；
（Ⅱ）求出sin∠CBD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠CBD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．利用三角函数，即可求$\frac{BF}{DH}$的值．

解答 （I）证明：连接CO．
在△ABC中，O为AB的中点，
∴CO平分∠ACB，
∴O到AC的距离等于O到BC的距离，
∵AC切圆O于点D，
∴OD⊥AC，
∴r=OD，
∴O到BC的距离=r，
∴BC为圆O的切线；
（Ⅱ）解：Rt△ACB中，AC=BC，O为AB的中点，
∴CO⊥AO，CO=AO
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵OD⊥AC，
∴D为AC中点，CD=$\frac{1}{2}$AC．
设CD=x，则BC=AC=2x．
在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{5}$x，
∴sin∠CBD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠CBD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
在Rt△BCH中，BC=2x，BH=BCcos∠CBD=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x，
∴DH=BD-BH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x，
在Rt△BFH中，BF=BHcos∠CBD=$\frac{8}{5}$x，
∴$\frac{BF}{DH}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查圆的切线的证明，考查三角函数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．