Question

9．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足c=$\sqrt{2}$，a²+b²=c²+$\sqrt{2}$ab的△ABC有两个，则边长BC的取值范围是（　　）

• A． $（1，\sqrt{2}）$
• B． $（1，\sqrt{3}）$
• C． $（\sqrt{2}，2）$
• D． $（\sqrt{3}，2）$

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可求cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合范围C∈（0，π），可求C，由正弦定理可得：a=$\frac{csinA}{sinC}$=2sinA，由题意sinA∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），即可得解．

解答 解：∵a²+b²=c²+$\sqrt{2}$ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{2}ab}{2ab}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{4}$，
∵c=$\sqrt{2}$，
∴由正弦定理可得：a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{\sqrt{2}sinA}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2sinA，
∵A∈（0，$\frac{3π}{4}$），且满足条件的△ABC有两个，可得sinA∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
∴BC=a=2sinA∈（$\sqrt{2}$，2）．
故选：C．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想，属于中档题．