Question

10．如图，已知点F（1，0），点A，B分别在x轴、y轴上运动，且满足AB⊥BF，$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AB}$，设点D的轨迹为C．
（I）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）若斜率为$\frac{1}{2}$的直线l与轨迹C交于不同两点P，Q（位于x轴上方），记直线OP，OQ的斜率分别为k₁，k₂，求k₁+k₂的取值范围．

Answer 1

分析 （I）根据$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AB}$得B为AD的中点，利用AB⊥BF，可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BF}$=0，从而可得轨迹C的方程；
（Ⅱ）斜率为$\frac{1}{2}$的直线l的方程为y=$\frac{1}{2}$x+b，代入y²=4x，整理，利用韦达定理，结合斜率公式，即可求k₁+k₂的取值范围．

解答 解：（I）设D（x，y），则由$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AB}$得B为AD的中点，
所以A（-x，0），B（0，$\frac{y}{2}$）
∵AB⊥BF，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BF}$=0，
∴（x，$\frac{y}{2}$）•（1，-$\frac{y}{2}$）=0
∴y²=4x（x≠0）；
（Ⅱ）斜率为$\frac{1}{2}$的直线l的方程为y=$\frac{1}{2}$x+b，代入y²=4x，整理可得x²+（4b-16）x+4b²=0，
△=（4b-16）²-16b²＞0，∴b＜2
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∴x₁+x₂=16-4b，x₁x₂=4b²．
k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{（\frac{1}{2}{x}_{1}+b）{x}_{2}+（\frac{1}{2}{x}_{2}+b）{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4}{b}$，
∵b＜2，∴$\frac{4}{b}$＜0或$\frac{4}{b}$＞2，
∵k₁+k₂的取值范围是（-∞，0）∪（2，+∞）．

点评 本题考查求轨迹方程，考查向量知识的运用，解题的关键是用好向量，挖掘隐含，属于中档题．