Question

15．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（sinA+sinB）（a-b）=（sinC-sinB）c，S_△ABC=$\sqrt{3}$，c=4b，则函数f（x）=bx²-ax+c的零点个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 不确定

Answer 1

分析 利用余弦定理，结合三角形的面积，求出a，b，c，然后求解函数零点个数．

解答 解：a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
（sinA+sinB）（a-b）=（sinC-sinB）c，
由正弦定理可得，（a+b）（a-b）=（c-b）c，可得a²=b²+c²-bc，
可得cosA=$\frac{1}{2}$，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，S_△ABC=$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}bcsinA$，可得bc=4，又c=4b，
解得c=4，b=1，则a=$\sqrt{13}$．
函数f（x）=bx²-ax+c=x²-$\sqrt{13}$x+4，函数的开口向上，
△=13-16=-3＜0，二次函数与x轴没有交点，
所以函数的零点个数为0．

点评 此题考查了正弦、余弦定理的应用，二次函数的简单性质的应用，函数零点的求法，熟练掌握定理是解本题的关键．