Question

 已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C过P(2，)，直线：y=kx+m(k≠0)交椭圆C于不同的两点A，B。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0,3）？若存在求出 k的取值范围；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意

，解得，，所以椭圆C的方程为. 

（Ⅱ）假设存在斜率为k的直线，其垂直平分线经过点Q（0,3），

设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点为N(x0,y0),

由得,  …

，所以,

,

，,  

线段AB的垂直平分线过点Q（0,3），

，即，，   

 ，

整理得，显然矛盾不存在满足题意的k的值。