Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，都有a_n=$\frac{3}{4}{S_n}$+2成立．记b_n=log₂a_n． 
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：$\frac{1}{15}≤{T_n}＜\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式即可求出数列{a_n}为等比数列，根据对数的运算性质可得b_n=2n+1，
（2）根据裂项求和求出数列{c_n}的前n项和为T_n，再利用放缩法即可证明．

解答 解：（1）在${a_n}=\frac{3}{4}{S_n}+2$中，令n=1得a₁=8．
因为对任意正整数n，都有${a_n}=\frac{3}{4}{S_n}+2①$成立，n≥2时，${a_{n-1}}=\frac{3}{4}{S_{n-1}}+2②$，
②-①得，${a_n}-{a_{n-1}}=\frac{3}{4}{a_{n-1}}$，所以a_n+1=4a_n．
又a₁≠0，所以数列{a_n}是以a₁=8为首项，4为公比的等比数列，即${a_n}=8•{4^{n-1}}={2^{2n+1}}$，
所以${b_n}={log_2}{2^{2n+1}}=2n+1$．
（2）由题意及（1）知${c_n}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
所以${T_n}=\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]=\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）=\frac{n}{3（2n+3）}$．
由于T_n为单调增函数，则$\frac{1}{15}={T_1}≤{T_n}＜\frac{1}{6}$，
故$\frac{1}{15}≤{T_n}＜\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了根据数列的递推公式求通项公式和裂项求和以及放缩法证明不等式，属于中档题．