题目内容
3．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+cos\frac{πx}{2}，x＞1}\\{{x}^{2}，0＜x≤1}\end{array}\right.$函数g（x）=x$+\frac{1}{x}+a$（x＞0），若存在唯一的x0，使得h（x）=min{f（x），g（x）}的最小值为h（x0），则实数a的取值范围为（ ）| A． | a＜-2 | B． | a≤-2 | C． | a＜-1 | D． | a≤-1 |
分析 作出函数f（x）的图象，可得最小值为0，最大值为2，由基本不等式可得g（x）的最小值为2+a，由题意可得2+a＜0，解不等式即可得到所求范围
解答 解：作出函数函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+cos\frac{πx}{2}，x＞1}\\{{x}^{2}，0＜x≤1}\end{array}\right.$的图象，可得f（x）的最小值为0，最大值为2；
函数g（x）=x$+\frac{1}{x}+a$≥2+a，且仅当x=1取得最小值2+a．
由存在唯一的x0，使得h（x）=min{f（x），g（x）}的最小值为h（x0），
可得2+a＜0，解得a＜-2．
故选：A
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点评 本题考查分段函数的图象及应用，考查基本不等式的运用：求最值，注意数形结合思想方法的运用，属于中档题．
练习册系列答案
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设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，且椭圆C经过定点（1，-$\frac{3}{2}$），右顶点为B，过右焦点F1的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别与直线l：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$交于E，F．
11．已知B（m，2b）是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=l（a＞0，b＞0）的右支上一点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOB=60°，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
| A． | y=±$\frac{{\sqrt{10}}}{2}x$ | B． | y=±$\frac{{\sqrt{13}}}{2}x$ | C． | y=±$\frac{{\sqrt{15}}}{2}x$ | D． | y=±$\frac{{\sqrt{19}}}{2}x$ |
8．已知集合A={x|x2-5x+6≤0}，集合B={x|2x＞4}，则集合A∩B=（ ）
| A． | {x|2≤x≤3} | B． | {x|2≤x＜3} | C． | {x|2＜x≤3} | D． | {x|2＜x＜3} |
15．奇函数f（x）在（-∞，0）上的解析式是f（x）=x（1+x），则f（x）在（0，+∞）上有（ ）
| A． | 最大值$-\frac{1}{4}$ | B． | 最大值$\frac{1}{4}$ | C． | 最小值$-\frac{1}{4}$ | D． | 最小值$\frac{1}{4}$ |
12．设x，y，z都是正数，则三个数$x+\frac{1}{y}，y+\frac{1}{z}，z+\frac{1}{x}$（ ）
| A． | 都大于2 | B． | 至少有一个不小于2 | ||
| C． | 至少有一个大于2 | D． | 至少有一个不大于2 |
13．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称中心的距离为$\frac{π}{2}$，若角φ的终边经过点（3，$\sqrt{3}$），则f（x）图象的一条对称轴为（ ）
| A． | x=$\frac{π}{6}$ | B． | x=$\frac{π}{4}$ | C． | x=$\frac{π}{3}$ | D． | x=-$\frac{π}{6}$ |