Question

2．平面直角坐标系xoy中，点A（2，0）在曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=sinφ}\end{array}$（φ为参数，a＞0）上．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点M，N的极坐标分别为（ρ₁，θ），（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），且点M，N都在曲线C上，则$\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}$=$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 点A（2，0）在曲线C上，推导出曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．点M，N的直角坐标分别为（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），（ρ₂cos（θ+$\frac{π}{2}$），ρ₂sin（θ+$\frac{π}{2}$））．从而得到$\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}$=（$\frac{co{s}^{2}θ}{4}$+sin²θ）+（$\frac{si{n}^{2}θ}{4}$+cos²θ），由此能求出结果．

解答 解：∵点A（2，0）在曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=sinφ}\end{array}$（φ为参数，a＞0）上，
∵a＞0，∴a=2，
∴曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
由题意得点M，N的直角坐标分别为（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），（ρ₂cos（θ+$\frac{π}{2}$），ρ₂sin（θ+$\frac{π}{2}$））．
∵点M，N在曲线C₁ 上，
∴$\frac{{{ρ}_{1}}^{2}co{s}^{2}θ}{4}$+ρ${{\;}_{1}}^{2}$sin²θ=1，$\frac{{{ρ}_{2}}^{2}si{n}^{2}θ}{4}$+ρ${{\;}_{2}}^{2}$cos²θ=1．
∴$\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}$=（$\frac{co{s}^{2}θ}{4}$+sin²θ）+（$\frac{si{n}^{2}θ}{4}$+cos²θ）=$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查曲线的参数方程与普通方程的互化及极径平方的倒数和的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．