Question

在区间[-a，a]（a＞0）内图象不间断的函数f（x）满足f（-x）-f（x）=0，函数g（x）=e^x•f（x），且g（0）•g（a）＜0，又当0＜x＜a时，有f′（x）+f（x）＞0，则函数f（x）在区间[-a，a]内零点的个数是

 

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Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据条件判断函数的奇偶性，利用导数判断g（x）的单调性，利用函数的单调性和奇偶性即可得到结论．

解答： 解：∵f（-x）-f（x）=0，∴f（-x）=f（x），则f（x）为偶函数，
∵g（x）=e^x•f（x），
∴g′（x）=e^x•[f′（x）+f（x）]＞0，
∴g（x）在[0，a]上单调递增，
∵g（0）•g（a）＜0，
∴g（x）在[0，a]上只有一个零点，
∵e^x＞0，∴f（x）在[0，a]上只有一个零点，
∵f（x）是偶函数，且f（0）≠0，
∴f（x）在区间[-a，a]内零点的个数是2个．
故答案为：2

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．