Question

在直角坐标系xOy内，过曲线C：xy=b（b，x＞0）与直线l_n：y=a_nx（a_n≠0，n∈N^*）的交点作C的切线m_n，以O为圆心，以直线m_n在坐标轴上的较长截距为半径作圆O交曲线C于A_n，B_n两点，若直线m_n的斜率a_n构成数列{a_n}（n∈N^*）且满足：①ba_n+1=a²_n②a₁=1．问：
（Ⅰ）记使得∠A_nOB_n的大小不受到参数b的控制时的a_n=λ（非零常数），求a_n=λ时∠A_nOB_n的值；
（Ⅱ）证明：∠A_nOB_n不一定随着n的增大而增大．

Answer 1

考点：数列与解析几何的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）联立

xy=b y=anx

，得

x= b an y= ban

，直线m_n：y=-a_nx+2

ban

，设圆O半径为r，A_n坐标为（x_n，y_n），由对称性知B_n（y_n，x_n），cos∠A_nOB_n=

2b

r2

，{lna_n-lnb}是公比为2的等比数列，∠A_nOB_n不受b的影响，且为

π

3

．
（Ⅱ）当b＞1时，随n的增大，cos∠A_nOB_n减小，∠A_nOB_n增大．当b＜1时，∠A_nOB_n随n的增大而增大．当b=1时，∠A_nOB_n=

π

3

，不随n的增大而增大．

解答： 解：（Ⅰ）联立

xy=b y=anx

，得

x= b an y= ban

，
∴直线m_n：y=-an(x-

b an

)+

ban

，
即y=-a_nx+2

ban

，
直线m_n与坐标轴的交点为（0，2

ban

），（2

b an

，0），
设圆O半径为r，A_n坐标为（x_n，y_n），
由对称性知B_n（y_n，x_n），
∴|AnBn|2=2(xn-yn)2=2（x_n²+yn2-2x_ny_n）=2r²-4b，
cos∠A_nOB_n=

OAn2+OBn2-AnBn2

2•OBn•OAn

=

2b

r2

，
由ba_n+1=an2，得lna_n+1+lnb=2lna_n，
∴lna_n+1-lnb=2（lna_n-lnb），
∴{lna_n-lnb}是公比为2的等比数列，
再由a₁=1，得an=b1-2n-1，
又r²=4ba_n或r2=4•

b

an

，
r2=4b2-2n-1或r2=4b2n-1，
又cos∠A_nOB_n=

23

r2

，
对比知无论何种情况，只有当n=1时，
cos∠A_nOB_n=

2b

4b

=

1

2

，
∠A_nOB_n不受b的影响，且为

π

3

．
（Ⅱ）证明：当b＞1时，r²=4b^2n-1，
cos∠A_nOB_n=

1

2

b1-2n-1，
随n的增大，cos∠A_nOB_n减小，∠A_nOB_n增大．
当b＜1时，r²=4b 2-2n-1，
cos∠A_nOB_n=

1

2

b2n-1-1，
∠A_nOB_n随n的增大而增大．
当b=1时，r²=4，
cos∠A_nOB_n=

1

2

，∠A_nOB_n=

π

3

，不随n的增大而增大．
∴∠A_nOB_n不一定随着n的增大而增大．

点评：本题考查∠A_nOB_n的值的求法，考查∠A_nOB_n不一定随着n的增大而增大的证明，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．