Question

定义运算?，若点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则P?Q=x₁x₂-y₁y₂，已知P=（cosA，1），点Q=（4，-1），若P?Q=-1，且角A为钝角．
（1）求角A；
（2）求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数的值域

专题：新定义,函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：（1）根据已知可求得cosA=-

1

2

，即可确定A的值；
（2）先求得sinx∈[-1，1]，化简可求解析式f（x）=-2sin²x-2sinx+1，根据二次函数f（x）的图象是抛物线，对称轴sinx=-

1

2

，求出f（x）的最小值与最大值，从而得值域．

解答： 解：（1）∵由题意得：P?Q=4cosA+1=-1，可求得cosA=-

1

2

，
∵角A为钝角．
∴A=

2π

3

．
（2）∵x∈R
∴sinx∈[-1，1]
∵f（x）=cos2x+4cosAsinx=cos2x-2sinx=-2sin²x-2sinx+1
∴令t=sinx，则g（t）=-2t²-2t+1
∵二次函数g（t）=-2t²-2t+1的图象是抛物线，对称轴是t=-

1

2

，
∴当t∈[-1，1]时，g（t）有最大值是f（

1

2

）=

3

2

，最小值是f（1）=-3，
∴f（x）=cos2x+4cosAsinx的值域是[-3，

3

2

]；

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，函数的值域的求法，属于基本知识的考查．