题目内容
在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，求二面角B-AP-C的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法
专题：解三角形,空间位置关系与距离,空间角
分析：首先根据线面垂直转化成线线垂直，进一步转化成线面垂直，在作出二面角的平面角，最后利用余弦定理求出结果．
解答：
解：在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥平面ABC，设AB=BC=CA=PC=2，
取AC的中点D，连接BD，取PA的中点E，取AE的中点F，
则：BD⊥AC，又已知PC⊥平面ABC，
所以：PC⊥BD
所以：BD⊥平面PAC．
BD⊥PA
DF⊥PA
所以：PA⊥平面BDF
所以：∠BFD是二面角B-AP-C的平面角．
解得：BD=
，DF=
，BF=
利用余弦定理：cos∠DFB=
=
所以：二面角B-AP-C的余弦值为
．
解：在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥平面ABC，设AB=BC=CA=PC=2，取AC的中点D，连接BD，取PA的中点E，取AE的中点F，
则：BD⊥AC，又已知PC⊥平面ABC，
所以：PC⊥BD
所以：BD⊥平面PAC．
BD⊥PA
DF⊥PA
所以：PA⊥平面BDF
所以：∠BFD是二面角B-AP-C的平面角．
解得：BD=
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| 2 |
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| 2 |
利用余弦定理：cos∠DFB=
| DF2+BF2-BD2 |
| 2DF•BF |
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所以：二面角B-AP-C的余弦值为
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| 7 |
点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质定理的应用，二面角的平面角的应用．属于基础题型．
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