Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，平面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=1，BC=2．
（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PDC；
（Ⅱ）若∠PAB=120°，求三棱锥P-BCD的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取PC、BC的中点E、F，连结DF，DE，EF，证明DE⊥平面PBC，根据面面垂直判定定理，即可证出平面PBC⊥平面PDC；
（2）延长BA，过P作PG⊥BA，垂足为G，得到PG⊥平面ABCD，算出PG，即可算出三棱锥P-BCD的体积．

解答： 解：（1）证明：取PC、BC的中点E、F，连结DF，DE，EF，
由已知得：PD=CD，∴DE⊥PC．
∵平面PAB⊥底面ABCD，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
又PC、BC的中点E、F，
∴EF∥PB，DF∥AB，
∴BC⊥平面DEF，
∴BC⊥DE，
∵BC∩PC=C，
∴DE⊥平面PBC，
又DE?平面PDC，
∴平面PBC⊥平面PDC．
（2）延长BA，过P作PG⊥BA，垂足为G，
则PG⊥平面ABCD，
由已知条件可得PG=

3

2

，
∴三棱锥P-BCD的体积VP-BCD=

1

3

×

3

2

×

1

2

×1×2=

3

6

．

点评：本题给出特殊四棱锥，求证面面垂直并求锥体的体积．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和锥体体积求法等知识，属于中档题．