Question

在数列{a_n}中，a₁=-

2

3

，其前n项和为S_n满足S_n+

1

Sn

=a_n-2，（n≥2）．
（1）计算S₁、S₂、S₃、S₄； 
（2）猜想S_n的表达式，并加以证明．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）令n=2，得S₂+

1

S2

=a₂-2=S₂-a₁-2，由此求出S₂=-

3

4

．同理，求得S₃=-

4

5

，S₄=-

5

6

．
（2）猜想S_n =-

n+1

n+2

，n∈N₊，然后利用数学归纳法进行证明．

解答： 解：（1）∵a₁=-

2

3

，其前n项和为S_n满足S_n+

1

Sn

=a_n-2，（n≥2），
∴S₁=a₁=-

2

3

，
令n=2，得S₂+

1

S2

=a₂-2=S₂-a₁-2，
∴

1

S2

=

2

3

-2=-

4

3

，∴S₂=-

3

4

．
同理，求得S₃=-

4

5

，S₄=-

5

6

．
（2）猜想S_n =-

n+1

n+2

，n∈N₊，
下边用数学归纳法证明：
①当n=2时，S₂=a₁+a₂=-

3

4

，猜想成立．
②假设当n=k时猜想成立，即S_K=-

k+1

k+2

．
则当n=k+1时，∵S_n+

1

Sn

=a_n-2，
∴S_k+1+

1

Sk+1

=a_k+1-2，
∴S_k+1+

1

Sk+1

=S_k+1-S_k-2，
∴

1

Sk+1

=

k+1

k+2

-2=

-k-3

k+2

，
∴S_K+1=-

k+2

k+3

，
∴当n=k+1时，猜想仍然成立．
综合①②可得，猜想对任意正整数都成立，
即 S_n=-

n+1

n+2

，n∈N₊成立．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．