Question

已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F₁PF₂＝60°.

(1)求椭圆离心率的范围；

(2)求证：△F₁PF₂的面积只与椭圆的短轴长有关．

Answer 1

 (1)解　法一　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，

|PF₁|＝m，|PF₂|＝n，则m＋n＝2a.

在△PF₁F₂中，由余弦定理可知，

4c²＝m²＋n²－2mncos 60°＝(m＋n)²－3mn

＝4a²－3mn≥4a²－3·＝4a²－3a²＝a²(当且仅当m＝n时取等号)．∴≥，即e≥.

又0＜e＜1，∴e的取值范围是.

法二　如图所示，设O是椭圆的中心，A是椭圆短轴上的一个顶点，由于∠F₁PF₂＝60°，则只需满足60°≤∠F₁AF₂即可，

又△F₁AF₂是等腰三角形，且|AF₁|＝|AF₂|，所以0°＜∠F₁F₂A≤60°，

所以≤cos∠F₁F₂A＜1，

又e＝cos∠F₁F₂A，所以e的取值范围是.

(2)证明　由(1)知mn＝b²，

∴S△PF₁F₂＝mnsin 60°＝b²，

即△PF₁F₂的面积只与短轴长有关．