Question

设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线 与椭圆交于C，D两点．若＋＝8，求k的值．

Answer 1

 (1)设F(－c,0)，由＝，知a＝c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，

代入椭圆方程＋＝1，解得y＝±b，                        

于是b＝ ，解得b＝，                                 

又a²－c²＝b²，从而可得a＝，c＝1，                               

所以椭圆的方程为＋＝1.                                          

(2)设点C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，

由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，                                                                             

由方程组消去y，

整理得(2＋3k²)x²＋6k²x＋3k²－6＝0.                                      

因为直线过椭圆内的点，无论k为何值，直线和椭圆总相交．

由根与系数的关系可得

则x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝，                                  

因为A(－，0)，B(，0)，所以

＝(x₁＋，y₁)·(－x₂，－y₂)＋(x₂＋，y₂)·(－x₁，－y₁)

＝6－2x₁x₂－2y₁y₂＝6－2x₁x₂－2k²(x₁＋1)(x₂＋1)

＝6－(2＋2k²)x₁x₂－2k²(x₁＋x₂)－2k²

＝6＋.                                                          

由已知得6＋＝8，

解得k＝±.