Question

已知圆x²＋y²＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．

Answer 1

解　法一　将x＝3－2y，

代入方程x²＋y²＋x－6y＋m＝0，

得5y²－20y＋12＋m＝0.

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

则y₁，y₂满足条件：

y₁＋y₂＝4，y₁y₂＝.

∵OP⊥OQ，∴x₁x₂＋y₁y₂＝0.

而x₁＝3－2y₁，x₂＝3－2y₂.

∵x₁x₂＝9－6(y₁＋y₂)＋4y₁y₂＝.

故＝0，解得m＝3，

此时Δ＝(－20)²－4×5×(12＋m)＝20(8－m)＞0，圆心坐标为，半径r＝.

法二　如图所示，设弦PQ中点为M，且圆x²＋y²＋x－6y＋m＝0的圆心为O₁，

设M(x₀，y₀)，P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

由法一知，y₁＋y₂＝4，x₁＋x₂＝－2，

∴x₀＝＝－1，y₀＝＝2.

即M的坐标为(－1,2)．

则以PQ为直径的圆可设为(x＋1)²＋

(y－2)²＝r.

∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上．

∴(0＋1)²＋(0－2)²＝r，即r＝5，|MQ|²＝r.

在Rt△O₁MQ中，|O₁Q|²＝|O₁M|²＋|MQ|².

∴＝＋(3－2)²＋5.

∴m＝3，∴圆心坐标为，半径r＝.