Question

如图所示，四棱锥P-ABCD，底面四边形ABCD是正方形，侧面PCD是边长为a的正三角形，且平面PCD⊥底面ABCD，E为PC的中点．
（1）求异面直线PA与DE所成角的余弦值；
（2）求AP与平面ABCD所成的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PA与DE所成角的余弦值．
（2）

AP

=（-a，

1

2

a，

3

2

a），平面ABCD的法向量

n

=（0，0，1），利用向量法能求出AP与平面ABCD所成的正切值．

解答： 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
A（a，0，0），P（0，

1

2

a，

3

2

a），D（0，0，0），E（0，

3

4

a，

3

4

a），

AP

=（-a，

1

2

a，

3

2

a），

DE

=（0，

3

4

a，

3

4

a），
cos＜

AP

，

DE

＞=

0+ 3 8 a+ 3 8 a

2 a• 3 2 a

=

6

4

，
∴异面直线PA与DE所成角的余弦值为

6

4

．
（2）∵

AP

=（-a，

1

2

a，

3

2

a），平面ABCD的法向量

n

=（0，0，1），
设AP与平面ABCD所成角为θ，
sinθ=|cos＜

AP

，

n

＞|=|

3 2 a

2 a

|=

6

4

，
∴tanθ=

15

5

．
∴AP与平面ABCD所成的正切值为

15

5

．

点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．