Question

已知定义在R上的函数f（x） 满足：①对任意的x，y∈R，都有f（x）+f（y）=f（x+y）②当x＜0时，有f（x）＜0
（1）利用奇偶性的定义，判断f（x）的奇偶性；
（2）利用单调性的定义判断f（x）的单调性；
（3）若关于x的不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＞0在R上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：本题（1）利用奇偶性的定义，结合条件f（x）+f（y）=f（x+y），用赋值法，得到f（-x）与-f（x）的关系，判断出f（x）的奇偶性；（2）利用函数单调必的定义，证明出f（x）的单调性；（3）利用函数的奇偶性和单调性，将关于x的不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＞0转化为3^x的不等式，通过变量分离，求出最值，得到k的取值范围，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵对任意的x，y∈R，都有f（x）+f（y）=f（x+y），
∴令x=y=0，得到：f（0）+f（0）=f（0），f（0）=0，
再令y-x得到：f（x）+f（-x）=f（0），f（-x）=-f（x）．
∴定义在R上的函数f（x）是奇函数；
（2）在R上任取两个自变量的值x₁，x₂，且x₁＞x₂，
f（x₂）-f（x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）
=f（x₁）+f（x₂-x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）．
∵x₁＞x₂，
∴x₂-x₁＜0，
∵当x＜0时，有f（x）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函数f（x）在R上单调递增；
（3）由（1）（2）知：奇函数f（x）在R上单调递增，
∴关于x的不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＞0可以转化为：
f（k•3^x）＞-f（3^x-9^x-2），
∴f（k•3^x）＞-f（3^x-9^x-2），
∴f（k•3^x）＞f（-3^x+9^x+2），
∴k•3^x＞-3^x+9^x+2，
∴k＞3^x+

2

3x

-1．
∵3^x+

2

3x

-1≥2

3x× 2 3x

-1=2

2

-1，
当且仅当3x=

2

3x

，x=

1

2

log32时取等号．
∴关于x的不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＞0在R上有解时，k＞2

2

-1．
∴实数k的取值范围是：（2

2

-1，+∞）．

点评：本题考查了函数的单调性定义及证明、函数的奇偶性定义及证明、函数单调性奇偶性的应用、抽象函数的研究、不等式的解法，本题有一定的综合性，难度不大，属于中档题．