Question

3．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x＜1}\\{{3}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$，则满足f（f（m））=3^f（m）的实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0）∪{-$\frac{1}{2}$}
• B． [0，1]
• C． [0，+∞）∪{-$\frac{1}{2}$}
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 令t=f（m），即有f（t）=3^t，当t＜1时，2t+1=3^t，解得t=0，进而求得m的值；当t≥1时，f（t）=3^t，讨论m的范围，结合指数函数的单调性可得m的范围．

解答 解：令t=f（m），即有f（t）=3^t，
当t＜1时，2t+1=3^t∈（0，3），即为-$\frac{1}{2}$＜t＜1，
设g（t）=2t+1-3^t，令g（t）=0，可得t=0，
由f（m）=2m+1=0，可得m=-$\frac{1}{2}$；
当t≥1时，f（t）=3^t，
若2m+1≥1，且m＜1，解得0≤m＜1；
若3^m≥1，且m≥1，解得m≥1，
可得m≥0．
综上可得，m的范围是[0，+∞）∪{-$\frac{1}{2}$}．
故选C．

点评 本题考查分段函数的运用，考查分类讨论的思想方法以及换元法的运用，考查运算能力，属于中档题．