Question

已知函数f（x）=x-1+

a

ex

（a∈R，e为自然对数的底数）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于直线y=x-1，求a的值；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，由两直线平行的条件得，f′（1）=1，即可求出a；
（2）求出导数，对a讨论，分a≤0，a＞0，求出单调区间，判断极值．

解答： 解：（1）函数f（x）=x-1+

a

ex

的导数f′（x）=1-

a

ex

，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于直线y=x-1，
∴f′（1）=1，即1-

a

e

=1，
∴a=0；
（2）导数f′（x）=1-

a

ex

，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）是R上的增函数，无极值；
②当a＞0时，e^x＞a时即x＞lna，f′（x）＞0；e^x＜a，即x＜lna，f′（x）＜0，
故x=lna为f（x）的极小值点，且极小值为lna-1+1=lna，无极大值．
综上，a≤0时，f（x）无极值；a＞0时，f（x）有极小值lna，无极大值．

点评：本题主要考查导数在函数中的综合应用，求切线方程和求极值，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．