Question

已知：①函数f₁（x）=x+

1

x

（x＞0）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞]上单调递增；②函数f₂（x）=x+

4

x

（x＞0）在（0，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增；③函数f₃（x）=x+

9

x

（x＞0）在（0，3）上单调递减，在[3，+∞）上单调递增；
现给出函数f（x）=x+

a2

x

（x＞0），其中a＞0．
（1）根据以上规律，写出函数f（x）的单调区间（不要求证明）
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上是单调递增函数，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）=x+

a2

x

≥4在区间[1，3]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理,基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用已知可得：函数f（x）在（0，a）上单调递减；（a，+∞）上单调递增．
（2）由函数f（x）在（0，a）上单调递减；（a，+∞）上单调递增．可得：0＜a≤1．
（3）对a分类讨论：a≤1，a≥4，1＜a＜4，利用已知函数f（x）在（0，a）上单调递减；（a，+∞）上单调递增的性质即可得出．

解答： 解：（1）由已知可得：函数f（x）在（0，a）上单调递减；（a，+∞）上单调递增．
（2）∵函数f（x）在区间[1，2]上是单调递增函数，∴0＜a≤1．
（3）由已知可得：若a≤1，根据函数的单调性可得：函数f（x）在x=1时取得最小值，∴f（1）=1+a²≥4，a＞0，解得a≥

3

，舍去；
若a≥4，根据函数的单调性可得：函数f（x）在x=3时取得最小值，∴f（3）=3+

a2

3

≥4，a＞0，解得a≥

3

，∴a≥4．
若1＜a＜4，根据函数的单调性可得：函数f（x）在x=a时取得最小值，∴f（a）=a+

a2

a

≥4，a＞0，解得2≤a＜4．
综上可得：a的取值范围是a≥2．

点评：本题考查了对于“双勾函数的单调性的研究”、基本不等式的性质、类比推理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．