Question

已知数列{a_n}为等差数列，公差d≠0，a_n≠0，（n∈N^*），且a_kx²+2a_k+1x+a_k+2=0（k∈N^*）
（1）求证：当k取不同自然数时，此方程有公共根；
（2）若方程不同的根依次为x₁，x₂，…，x_n，…，求证：数列{

1

1+xn

}为等差数列．

Answer 1

考点：等差关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）依题意，2a_k+1=a_k+a_k+2，于是原方程可转化为（a_kx+a_k+2）（x+1）=0，从而可证结论；
（2）原方程另一根为x_n，利用韦达定理，可求得x_n=-1-

2d

ak

，继而得

1

1+xn

=-

ak

2d

，利用等差数列的定义，证明即可．

解答： 证明：（1）∵{a_n}是等差数列，∴2a_k+1=a_k+a_k+2，故方程a_kx²+2a_k+1x+a_k+2=0，
可变为（a_kx+a_k+2）（x+1）=0，
∴当k取不同自然数时，原方程有一个公共根-1．
（2）原方程另一根为x_n，则-x_n=

ak+2

ak

=

ak+2d

ak

=1+

2d

ak

，
∴x_n=-1-

2d

ak

，1+x_n=-

2d

ak

，

1

1+xn

=-

ak

2d

，…（10分）
∴

1

1+xn+1

-

1

1+xn

=-

ak+1

2d

-（-

ak

2d

）=

ak-ak+1

2d

=

-d

2d

=-

1

2

（常数）．
∴数列{

1

1+xn

}是以-

1

2

为公差的等差数列

点评：本题考查等差关系得确定，考查方程思想与推理运算能力，属于中档题．