Question

设a是实数，函数f（x）=ax²+2（a-1）x-2lnx．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x₀，y₀）处的切线方程为l：y=h（x），当x≠x₀时，若

g(x)-h(x)

x-x0

＜0在D内恒成立，则称点P为函数y=g（x）的“平衡点”．当a=1时，试问函数y=f（x）是否存在“平衡点”？若存在，请求出“平衡点”的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求导，f′（x）=2ax+2（a-1）-

2

x

=

(2ax-2)(x+1)

x

（x＞0），分当a≤0时，与a＞0时，讨论导数的符号，得出单调区间；
（2）设p（x₀，y₀）为函数f（x）=x²-2lnx图象上一点，则函数y=f（x）在点P处的切线方程为：y-x02+2lnx₀=（2x₀-

2

x0

）（x-x₀）得h（x）的表达式，
构造函数F（x）=f（x）-h（x）=x²-2lnx-（2x0x-x02-

2x

x0

+2-2lnx0），求导研究F（x）的单调性，再验证

g(x)-h(x)

x-x0

＜0是否恒成立．

解答： 解：（1）f′（x）=2ax+2（a-1）-

2

x

=

(2ax-2)(x+1)

x

（x＞0）
当a≤0时，f′（x）≤0在x＞0上恒成立；
当a＞0时，在x∈（0，

1

a

）时，f′（x）＜0，当x∈（

1

a

，+∞）时，f′（x）＞0
所以，当a≤0时，f（x）的减区间为（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的减区间为（0，

1

a

），增区间为（

1

a

，+∞）．
（2）设p（x₀，y₀）为函数f（x）=x²-2lnx图象上一点，则函数y=f（x）在点P处的切线方程为：y-x02+2lnx₀=（2x₀-

2

x0

）（x-x₀）
即：h（x）=2x0x-x02-

2x

x0

+2-2lnx0．
令F（x）=f（x）-h（x）=x²-2lnx-（2x0x-x02-

2x

x0

+2-2lnx0）．
则F′（x）=2x-

2

x

-2x₀+

2

x0

=2(x-x0)(1+

1

x0x

)，
因为x＞0，x₀＞0
所以，当0＜x＜x₀时，F′（x）＜0，当x＞x₀时，F′（x）＞0
即函数F（x）在（0，x₀）上为减函数，在（x₀，+∞）上为增函数，
所以，F（x）≥F（x₀）=0
那么，当x＜x₀时，

F(x)

x-x0

=

f(x)-h(x)

x-x0

＜0；
当x＞x₀时，

F(x)

x-x0

=

f(x)-h(x)

x-x0

＞0；
因此，函数f（x）在x∈（0，+∞）不存在“平衡点”．

点评：本题主要考查函数的性质，研究函数的导数与函数的关系，对于题目出现新定义的问题，读懂定义的内涵是关键．