Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=

1+an

3-an

（n∈N^*），且a₁=0．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）是否存在一个实常数λ，使得数列{

1

an-λ

}为等差数列，请说明理由．

Answer 1

考点：等差数列的性质,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列{a_n}的递推关系a_n+1=

1+an

3-an

（n∈N^*）及a₁=0即可求得a₂，a₃的值；
（2）假设存在一个实常数λ，使得数列{

1

an-λ

}为等差数列，依题意可求得λ，再利用等差数列的定义即可证得猜想成立．

解答： 解 （1）a2=

1

3

，a3=

1

2

…（4分）
（2）假设存在一个实常数λ，使得数列{

1

an-λ

}为等差数列，则

1

a1-λ

，

1

a2-λ

，

1

a3-λ

成等差数列，所以

2

a2-λ

=

1

a1-λ

+

1

a3-λ

，…（6分）
所以

2

1 3 -λ

=

1

0-λ

+

1

1 2 -λ

，解之得λ=1．…（8分）
因为

1

an+1-1

-

1

an-1

=

1

1+an 3-an -1

-

1

an-1

=

3-an

2(an-1)

-

1

an-1

=

1-an

2(an-1)

=-

1

2

…（11分）
又

1

a1-1

=-1，所以存在一个实常数λ=1，使得数列{

1

an-λ

}是首项为-1，
公差为-

1

2

的等差数列．…（12分）

点评：本题考查数列{a_n}的递推关系及等差关系的确定，考查运算与推理能力，属于难题．