Question

某公司生产一种产品，每年需投入预定成本60万元，此外每生产1万件产品需要增加投资35万元，经预测知，市场对这种产品的需求量为5万件，且当售出的这种产品的数量为t（单位：万件）时，销售所得的收入约为500t-50t²（万元）．
（1）若该公司这种产品的年产量为x（单位：万件，x＞0），试把该公司生产销售这种产品所得的年利润表示为当年产量x的函数．
（2）当该公司的年产量为多大时，当年所得的利润最大？并求出当年所得利润最大值．

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）由销售收入减去固定成本与可变成本得到利润，由此即可得出函数关系式；
（2）根据（1）得到的函数关系式，利用相应函数的性质求出最值即可得出．

解答： 解：（1）该公司这种产品的年产量为x（单位：万件，x＞0），x≤5，
由于销售所得的收入约为500x-50x²（万元）．固定成本为60万元，可变成本是35x万元，
所以利润y=500x-50x²-60-35x=-50x²+465x-60，（0＜x≤5）．
（2）由于y=-50x²+465x-60，（0＜x≤5）．
当x=4.65时，函数取到最大值y（4.65）=-50×4.65²+465×4.65-60=1021.125万元，
故当年产量为4.65万件时，公司获得的最大利润是1021.125万元．

点评：本题考查函数最值的应用，利用函数最值得出实际问题中利润最大化问题的解决，函数的应用是函数在现实生活中的一大功用，平时学习中要注意积累数学关系与现实中事物之间关系的对应，为建立恰当合适的函数模型打下基础．