Question

11．设函数f（x）的定义域为R，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，-1≤x≤0}\\{{3}^{x}-1，0＜x＜1}\end{array}\right.$，且对任意的x∈R都有f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，若在区间[-5，1]上函数g（x）=f（x）-mx+m恰有5个不同零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{6}$）
• B． （-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$]
• C． （-$\frac{1}{6}$，0]
• D． （-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{6}$]

Answer 1

分析 求出f（x）的周期，作出f（x）的函数图象，令y=mx-m与f（x）在[-5，1]上的图象有5个交点，即可求出m的范围．

解答 解：∵f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，∴f（x+2）=-$\frac{1}{f（x+1）}$，
∴f（x）=f（x+2），即f（x）的周期为2．
作出f（x）在[-5，1]上的函数图象如图所示：

令g（x）=0得f（x）=mx-m，
则直线y=mx-m与f（x）在[-5，1]上有5个交点．
当直线y=mx-m过点（-3，1）时，直线y=mx-m与f（x）在[-5，1]上恰好有5个交点，
此时-3m-m=1，即m=-$\frac{1}{4}$，
当直线y=mx-m过点（-5，1）时，直线y=mx-m与f（x）在[-5，1]上恰好有6个交点，
此时-5m-m=1，即m=-$\frac{1}{6}$．
∴-$\frac{1}{4}$≤m＜-$\frac{1}{6}$．
故选A．

点评 本题考查了函数的周期性应用，函数图象与函数零点的关系，属于中档题．