题目内容
3．已知数列{an}的通项an=log（n+1）（n+2），（n∈N*）我们把使乘积a1a2a3…an为整数的n叫做“优数”，则在（1，2016]内的所有“优数”的和为2026．分析 由题意可得，a1•a2…an=log23•log34•…•logn+1（n+2）=$\frac{lg3}{lg2}$×$\frac{lg4}{lg3}$×$\frac{lg5}{lg4}$×…×$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$=log2（n+2），若使log2（n+2）为整数，则n+2=2k，在（1，2010]内的所有整数可求，进而利用分组求和及等比数列的求和公式可求．
解答 解：∵an=logn+1（n+2）
∴a1•a2…an=log23•log34•…•logn+1（n+2）
=$\frac{lg3}{lg2}$×$\frac{lg4}{lg3}$×$\frac{lg5}{lg4}$×…×$\frac{lg（n+2）}{lg（n+1）}$=log2（n+2），
若使log2（n+2）为整数，则n+2=2k
在（1，2010]内的所有整数分别为：22-2，23-2，…，210-2
∴所求的数的和为22-2+23-2+…+210-2=$\frac{4（1-{2}^{9}）}{1-2}$-2×9=2026
故答案为：2026．
点评 本题以新定义“优数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用，属于中档试题．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
19．已知函数f（x）=sinωx-$\sqrt{3}$cosωx（ω＞0）在（0，π）上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ）
| A． | $（{0，\frac{4}{3}}]$ | B． | $（{\frac{4}{3}，\frac{7}{3}}]$ | C． | $（{\frac{7}{3}，\frac{10}{3}}]$ | D． | $（{\frac{10}{3}，\frac{13}{3}}]$ |
11．设函数f（x）的定义域为R，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，-1≤x≤0}\\{{3}^{x}-1，0＜x＜1}\end{array}\right.$，且对任意的x∈R都有f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，若在区间[-5，1]上函数g（x）=f（x）-mx+m恰有5个不同零点，则实数m的取值范围是（ ）
| A． | [-$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{6}$） | B． | （-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$] | C． | （-$\frac{1}{6}$，0] | D． | （-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{6}$] |
8．与函数y=x相同的函数是（ ）
| A． | y=$\sqrt{{x}^{2}}$ | B． | y=$\frac{{x}^{2}}{x}$ | ||
| C． | y=（$\sqrt{x}$）2 | D． | y=logaax（a＞0且a≠1） |