Question

16．双曲线的两条渐近线的方程为$y=±\sqrt{2}x$，且经过点$（{3，-2\sqrt{3}}）$
（1）求双曲线的方程；
（2）双曲线的左右焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线上一点，∠F₁PF₂为60°，求${S_{△P{F_1}{F_2}}}$．

Answer 1

分析 （1）可设双曲线的方程为2x²-y²=λ（λ≠0），代入点$（{3，-2\sqrt{3}}）$，解方程可得λ，即可得到双曲线的方程；
（2）求出双曲线的a，b，c，设|F₁P|=m，|PF₂|=n，运用双曲线的定义和余弦定理，以及面积公式，计算即可得到所求．

解答 解：（1）双曲线的两条渐近线的方程为$y=±\sqrt{2}x$，且经过点$（{3，-2\sqrt{3}}）$，
可设双曲线的方程为2x²-y²=λ（λ≠0），
可得2×9-12=λ，即λ=6，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1；
（2）双曲线的左右焦点分别为F₁，F₂，设P为双曲线右支上一点，∠F₁PF₂为60°，
双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{6}$，c=3，
设|F₁P|=m，|PF₂|=n，则m-n=2$\sqrt{3}$①
在△F₁PF₂中，36=m²+n²-2mncos60°=m²+n²-mn②，
②-①²：mn=24，
∴△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$mnsin60°=$\frac{1}{2}$×24×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，以及渐近线方程和双曲线的方程的关系，考查三角形的面积的求法，注意运用余弦定理和三角形的面积公式，结合双曲线的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．