Question

7．函数f（x）=2x+cosx在x=$\frac{π}{2}$处的切线与坐标轴围成三角形面积为（　　）

• A． $\frac{π^2}{8}$
• B． $\frac{π^2}{24}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．

解答 函数的导数f′（x）=2-sinx，
则在x=$\frac{π}{2}$处的切线斜率k=f′（$\frac{π}{2}$）=2-sin$\frac{π}{2}$=2-1=1，
即切线斜率k=1，f（$\frac{π}{2}$）=2×$\frac{π}{2}$+cos$\frac{π}{2}$=π，
即切点坐标为（$\frac{π}{2}$，π），
则切线方程为y-π=x-$\frac{π}{2}$，
即y=x+$\frac{π}{2}$，
直线与坐标轴的两个交点为（0，$\frac{π}{2}$），（-$\frac{π}{2}$，0），
则对应的三角形的面积S=$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{2}$×$\frac{π}{2}$=$\frac{π^2}{8}$，
故选：A

点评 本题主要考查函数切线的求解以及三角形的面积的计算，根据导数的几何意义求出切线方程是解决本题的关键．