Question

2．设不相等的平面向量组$\overrightarrow{{a}_{i}}$=（i=1，2，3，…），满足：①|$\overrightarrow{{a}_{i}}$|=3；②$\overrightarrow{{a}_{i}}$$•\overrightarrow{{a}_{i+1}}$=0，若$\overrightarrow{{T}_{m}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{m}}$（m≥2），则|$\overrightarrow{{T}_{m}}$|的取值集合为{0，3，3$\sqrt{2}$}．

Answer 1

分析 由：∵|$\overrightarrow{{a}_{i}}$|=3，$\overrightarrow{{a}_{i}}$$•\overrightarrow{{a}_{i+1}}$=0，得到$\overrightarrow{{a}_{1}}$⊥$\overline{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$$⊥\overrightarrow{{a}_{3}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$⊥$\overrightarrow{{a}_{4}}$，即$\overrightarrow{{a}_{1}}$=-$\overrightarrow{{a}_{3}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$=-$\overrightarrow{{a}_{4}}$，$\overrightarrow{{a}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{a}_{4}}$，且且i的最大值为4，再利用数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系即可得出．

解答 解：∵|$\overrightarrow{{a}_{i}}$|=3，$\overrightarrow{{a}_{i}}$$•\overrightarrow{{a}_{i+1}}$=0，
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}$⊥$\overline{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$$⊥\overrightarrow{{a}_{3}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$⊥$\overrightarrow{{a}_{4}}$，
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}$=-$\overrightarrow{{a}_{3}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$=-$\overrightarrow{{a}_{4}}$，$\overrightarrow{{a}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{a}_{4}}$，且且i的最大值为4，
∴|$\overrightarrow{{T}_{m}}$|²=（$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{m}}$）²=${\overrightarrow{{a}_{1}}}^{2}$+${\overrightarrow{{a}_{2}}}^{2}$+…+${\overrightarrow{{a}_{m}}}^{2}$+2（$\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{m-1}}•\overrightarrow{{a}_{m}}$）=9m+2（$\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrow{{a}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{m-1}}•\overrightarrow{{a}_{m}}$），
若m=2时，${\overrightarrow{{T}_{2}}}^{2}$=18，|$\overrightarrow{{T}_{2}}$|=3$\sqrt{2}$，
若m=3时，${\overrightarrow{{T}_{3}}}^{2}$=9，|$\overrightarrow{{T}_{3}}$|=3，
若m=4时，${\overrightarrow{{T}_{4}}}^{2}$=0，|$\overrightarrow{{T}_{4}}$|=0，
∴|$\overrightarrow{{T}_{m}}$|的取值集合为{0，3，3$\sqrt{2}$}，
故答案为：{0，3，3$\sqrt{2}$}．

点评 本题考查了数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力和计算能力，属于难题