Question

3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x，
（1）求f（x）在x＜0时的解析式；
（2）如果f（x）在[-1，a-2]上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质，利用转化法进行求解即可．
（2）结合一元二次函数的单调性的性质进行判断即可．

解答 解：（1）当x＜0时，则-x＞0，
故f（-x）=（-x）²+2x=x²+2x，
由于f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x），
于是f（-x）=-x²-2x，x＜0；…（6分）
（2）要使f（x）在[-1，a-2]上单调递减，必须$\left\{\begin{array}{l}{a-2＞-1}\\{a-2≤1}\end{array}\right.$，…（10分）
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤3}\end{array}\right.$，
解得1＜a≤3．…（12分）

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用一元二次函数的性质结合函数奇偶性的性质是解决本题的关键．