Question

设函数f（x）=ax-e^x，a∈R，e为自然对数的底数．
（1）若函数f（x）存在两个零点，求a的取值范围；
（2）若对任意x∈R，a＞0．f（x）≤a²-ka恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=a-e^x，分a＞0与a＜0讨论，从而可得当a＞0时，f（x）在x=lna处取得最大值f（lna）=alna-a，从而可得f（lna）=alna-a＞0，从而解a；
（2）由题意，对任意x∈R，a＞0．f（x）≤a²-ka恒成立可化为k≤a+1-lna恒成立，令g（a）=a+1-lna，从而化为最值问题．

解答： 解：（1）f′（x）=a-e^x．
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减，最多存在一个零点，不满足条件；
当a＞0时，由f′（x）=0解得x=lna，当x＞lna时，f′（x）＜0，当x＜lna时，f′（x）＞0．
故f（x）在x=lna处取得最大值f（lna）=alna-a，
∵f（x）存在两个零点，
∴f（lna）=alna-a＞0，
∴a＞e，
即a的取值范围是（e，+∞）；
（2）由（Ⅰ）知f（x）≤alna-a，故只需alna-a≤a²-ka，
即k≤a+1-lna．
令g（a）=a+1-lna，
g′（a）=1-

1

a

，
当a＞1时，g′（a）＞0；当a＜1时，g′（a）＜0．
故g（a）在a=1处取得最小值2，则k≤2，
即k的取值范围是（-∞，2]．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点及恒成立问题，属于中档题．