Question

10．过点M（1，1）作斜率为-$\frac{1}{4}$的直线与椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），相交于A、B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为-$\frac{1}{4}$，即可求出椭圆C的离心率．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的斜率为-$\frac{1}{4}$，即$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{1}{4}$，
直线AB的中点坐标为M（1，1），$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=1}\\{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
由$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
两式相减得：得$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}-{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}=0$，
∴$\frac{2}{{a}^{2}}$+（-$\frac{1}{4}$）$\frac{2}{{b}^{2}}$=0，
a²=4b²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查椭圆的离心率，考查点差法的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．