Question

19．△ABC中，∠C=90°，点M在边BC上，且满足BC=3BM，若sin∠BAM=$\frac{1}{5}$，则sin∠BAC=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 设BM=1，AC=h，利用两角和差的正切公式计算tan∠BAM，列出方程解出AC，即可求出AB，得出sin∠BAC．

解答 解：设∠BAM=α，∠CAM=β，BC=3BM=3，AC=h．
则tanβ=$\frac{2}{h}$，tan（α+β）=$\frac{3}{h}$，
∴tanα=$\frac{\frac{3}{h}-\frac{2}{h}}{1+\frac{6}{{h}^{2}}}$=$\frac{h}{{h}^{2}+6}$．
又sinα=$\frac{1}{5}$，∴cosα=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，∴tanα=$\frac{1}{2\sqrt{6}}$．
∴$\frac{h}{{h}^{2}+6}=\frac{1}{2\sqrt{6}}$，解得h=$\sqrt{6}$．
∴AB=$\sqrt{{h}^{2}+9}$=$\sqrt{15}$．
∴sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{\sqrt{15}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查了三角形中的几何运算，属于中档题．