Question

已知数列{a_n}满足3na_n+1=（a_n+2n）（n+1），n∈N⁺，且a₁=

4

3

．
（Ⅰ）设数列{b_n}满足b_n=

an

n

-1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）若S_n为数列{a_n}的前n项和，求证：4S_n＜2n²+2n+3．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出bn+1=

an+1

n+1

-1=

1

3

(

an

n

-1)=

1

3

bn，由此能证明{b_n}是以

1

3

为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（1）知an=

n

3n

+n，由此利用裂顶求和法求出4S_n=3-

3

3n

-

2n

3n

+2n（n+1），由此能证明4S_n＜2n²+2n+3．

解答： （Ⅰ）证明：∵b_n=

an

n

-1，3na_n+1=（a_n+2n）（n+1），
∴bn+1=

an+1

n+1

-1
=

(an+2n)(n+1) 3n

n+1

-1
=

an+2n

3n

-1
=

an

3n

+

2

3

-1
=

1

3

•

an

n

-

1

3

=

1

3

(

an

n

-1)=

1

3

bn，
∴{b_n}是以

1

3

为公比的等比数列．（6分）
（Ⅱ）证明：由（1）知

an

n

-1=(

a1

1

-1)•(

1

3

)n-1=(

1

3

)n，
∴an=

n

3n

+n，（7分）
∴Sn=(

1

3

+1)+(

2

32

+2)+(

3

33

+3)+…+（

n

3n

+n）
=（

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

）+（1+2+3+…+n），（8分）
设T_n=

1

3

+

1

32

+

3

33

+…+

n

3n

，①
则

1

3

Tn=

1

32

+

2

33

+…+

n

3n+1

，②
①-②得：

2

3

Tn=

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

-

n

3n+1

=

1

2

(1-

1

3n

)-

n

3n+1

，
∴T_n=

3

4

(1-

1

3n

)-

n

2×3n

，（11分）
∴Sn=Tn+

n(n+1)

2

=

3

4

(1-

1

3n

)-

n

2×3n

+

n(n+1)

2

，（12分）
即4S_n=3-

3

3n

-

2n

3n

+2n（n+1）
=2n2+2n+3-

2n+3

3n

＜2n²+2n+3．
∴4S_n＜2n²+2n+3．（14分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．