Question

11．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$=1，asinB=$\sqrt{3}$R（R为△ABC外接圆的半径）
（Ⅰ）求∠C的值；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{10}$，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得sinBcosA+cosBsinA=sinAsinB⇒sin（A+B）=sinAsinB，即sinC=sinAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求得：$∠C=\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC=10}\\{a+b=ab}\end{array}\right.$⇒ab=5，即可得s_△ABC=$\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{4}$．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$=1，∴$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}=1$．
∴sinBcosA+cosBsinA=sinAsinB⇒sin（A+B）=sinAsinB，
即sinC=sinAsinB，又sinAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0$＜C＜\frac{π}{2}$，
得：$∠C=\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵c=$\sqrt{10}$，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC=10}\\{a+b=ab}\end{array}\right.$⇒（a+b）²-3ab=10．
∴（ab）²-3ab-10=0，∴ab=5或ab=2（不合）
∴s_△ABC=$\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×5×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了三角恒等变形、余弦定理，面积计算，属于中档题．