题目内容
已知2n+2•3n+5n-a能被25整除，求正整数a的最小值．
考点：整除的基本性质
专题：计算题
分析：利用二项式定理展开，并对n讨论即可得出．
解答：
解：2n+2•3n+5n-a=12n+5n-a=（10+2）n+5n-a=10n+
10n-1×2+…+
102×2n-2+
×10×2n-1+2n+5n-a
=25M+5n（2n+1）-a，（M为整数）．
当n=1时，23×31+5-a=29-a，此时a=29-25k（k∈Z），k=1时，a=4．
当n≥2时，若2n+2•3n+5n-a能被25整除，则5n（2n+1）-a必须能够被25整除．
设5n（2n+1）-a=25k，则a=5n（2n+1）-25k．当n=2时，a=25×2-25k，k=1时，a=25．
综上可得：正整数a的最小值是4．
| ∁ | 1 n |
| ∁ | n-2 n |
| ∁ | n-1 n |
=25M+5n（2n+1）-a，（M为整数）．
当n=1时，23×31+5-a=29-a，此时a=29-25k（k∈Z），k=1时，a=4．
当n≥2时，若2n+2•3n+5n-a能被25整除，则5n（2n+1）-a必须能够被25整除．
设5n（2n+1）-a=25k，则a=5n（2n+1）-25k．当n=2时，a=25×2-25k，k=1时，a=25．
综上可得：正整数a的最小值是4．
点评：本题考查了二项式定理的应用、整除的理论、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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| 2 |
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