Question

已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：函数f（x）在R上是增函数；
（2）若关于x的不等式f（x²-ax+5a）＜f（m）的解集为{x|-3＜x＜2}，求m的值．
（3）若f（1）=2，求f（2013）的值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用定义证明单调性，要能够很好的利用f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＞0时，f（x）＞1这两个条件，
（2）根据原函数的单调性可得对应的一元二次不等式，由于其解集已经知道，于是得到方程x²-ax+5a-m=0的根为-3和2，利用根与系数的关系可以求出．
（3）通过赋值法可得到f（n）-f（n-1）=1，累加可得．

解答： 解：（1）设x₁，x₂，x₁-x₂＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞1．
∴f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）-1
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）-1＞0，
故函数f（x）在R上是增函数；
（2）由（1）知函数f（x）在R上是增函数；
∵不等式f（x²-ax+5a）＜f（m），
∴x²-ax+5a＜m，
即x²-ax+5a-m＜0，
∵关于x的不等式f（x²-ax+5a）＜f（m）的解集为{x|-3＜x＜2}，
∴方程x²-ax+5a-m=0的根为-3和2，
∴-3+2=a，-3×2=5a-m，
解得a=-1，m=1，
（3）∵f（1）=2
令x=n-1，y=1，得f（n）-f（n-1）=1，
令x=n-2，y=1，得f（n-1）-f（n-2）=1
…
令x=1，y=1得f（2）-f（1）=1，
所以累加可得，f（n）=2+（n-1）×1=n+1，
故f（2013）=2014．

点评：本题主要考查了利用赋值法求解函数的函数值，判断函数的奇偶性、单调性及利用单调性求解不等式等函数知识的综合应用．