Question

在△ABC中，a，b，c 满足 acosA+bcosB=ccosC，请判断△ABC的现状，并说明理由．

Answer 1

考点：三角形的形状判断

专题：计算题,解三角形

分析：利用正弦定理可将acosA+bcosB=ccosC转化为sin2A+sin2B=2sinCcosC，再利用和差化积公式与诱导公式、两角和与差的余弦公式即可判断△ABC的形状．

解答： 解：∵在△ABC中，a，b，c 满足 acosA+bcosB=ccosC，
∴由正弦定理得，sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，
即sin2A+sin2B=2sinCcosC，
由和差化积公式得：sin2A+sin2B=2sin（A+B）cos（A-B），
∴2sin（A+B）cos（A-B）=2sinCcosC，
∵△ABC中，A+B+C=π，
∴sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，且sinC≠0，
∴cos（A-B）=cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B），
由两角和与差的余弦公式展开整理得：cosAcosB=0，
∴A=

π

2

或B=

π

2

，
∴△ABC为直角三角形．

点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦、两角和与差的余弦公式及和差化积公式的应用，属于中档题．