Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x-1）．当-1≤x≤0时，f（x）=x²．若直线y=x-m与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-1，0）
• B、（0，

  1

  4

  ]
• C、（0，

  1

  4

  ）
• D、（-

  1

  4

  ，-

  1

  2

  ）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：对任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x-1），可得f（x+2）=f（x），函数f（x）的周期T=2．由于当-1≤x≤0时，f（x）=x²．画出图象，即可得出[1，2]上的图象．设直线与抛物线在[0，1]之间相切与点P（x₀，y₀）．利用导数的几何意义可得P(

1

2

，

1

4

)．代入y=x-m，解得-m=-

1

4

．当直线经过点O，A时，m=0．若直线y=x-m与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有三个不同的公共点，则-

1

4

＜-m＜0，解得即可．

解答： 解：∵对任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x-1），∴f（x+2）=f（x），
因此函数f（x）的周期T=2．
由于当-1≤x≤0时，f（x）=x²．画出图象，即可得出[1，2]上的图象．
设直线与抛物线在[0，1]之间相切与点P（x₀，y₀）．
y′=2x，∴2x₀=1，解得x0=

1

2

，
∴y0=(

1

2

)2=

1

4

．
∴P(

1

2

，

1

4

)．
代入y=x-m，解得-m=-

1

4

．
当直线经过点O，A时，m=0．
若直线y=x-m与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有三个不同的公共点，
则-

1

4

＜-m＜0，解得0＜m＜

1

4

．
则实数m的取值范围是0＜m＜

1

4

．
故选：C．

点评：本题考查了直线与曲线相交问题、导数的几何意义，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．