Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=1-，其中n∈N^*．
（Ⅰ）设b_n=，求证：数列{b_n}是等差数列，并求出{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设C_n=，数列{C_nC_n+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得T_n＜对于n∈N^*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵b_n+1-b_n==
==2，
∴数列{b_n}是公差为2的等差数列，
又=2，∴b_n=2+（n-1）×2=2n．
∴2n=，解得．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，
∴c_nc_n+2==，
∴数列{C_nC_n+2}的前n项和为Tn=…+
=2＜3．
要使得T_n＜对于n∈N^*恒成立，只要，即，
解得m≥3或m≤-4，而m＞0，故最小值为3．
分析：（Ⅰ）利用递推公式即可得出b_n+1-b_n为一个常数，从而证明数列{b_n}是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得到b_n，进而得到a_n；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，利用“裂项求和”即可得到T_n，要使得T_n＜对于n∈N^*恒成立，只要，即，解出即可．
点评：正确理解递推公式的含义，熟练掌握等差数列的通项公式、“裂项求和”、等价转化等方法是解题的关键．