Question

3．如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4点D是AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面B₁DC；
（2）求三棱锥A₁-B₁CD的体积．

Answer 1

分析 （1）设B₁C∩BC₁=E，连结DE，则DE∥AC₁，由此能证明AC₁∥平面B₁DC．
（2）在△ABC中，过C作CF⊥AB，垂足为F，由${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}CD}$=${V}_{C-{A}_{1}D{B}_{1}}$，能求出三棱锥A₁-B₁CD的体积．

解答 证明：（1）设B₁C∩BC₁=E，
∵在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中BB₁C₁C是矩形，∴E是BC₁的中点，
连结DE，∵点D是AB的中点，∴DE∥AC₁，
∵DE?平面B₁DC，AC₁?平面B₁DC，
∴AC₁∥平面B₁DC．
解：（2）在△ABC中，过C作CF⊥AB，垂足为F，
由面ABB₁A₁⊥面ABC，知CF⊥面ABB₁A₁，
∴${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}CD}$=${V}_{C-{A}_{1}D{B}_{1}}$，
∵${S}_{△D{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}{A}_{1}{B}_{1}•A{A}_{1}$=$\frac{1}{2}×5×4=10$，$CF=\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$．
三棱锥A₁-B₁CD的体积${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}CD}$=${V}_{C-{A}_{1}D{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}×10×\frac{12}{5}=8$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．