Question

15．已知${（3{x^2}+\sqrt{x}）^n}$的展开式各项系数和为M，${（3{x^2}-\sqrt{x}）^{n+5}}$的展开式各项系数和为N，（x+1）ⁿ的展开式各项的系数和为P，且M+N-P=2016，试求${（2{x^2}-\frac{1}{x^2}）^{2n}}$的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项．

Answer 1

分析 先求出n的值，再写出展开式的通项，
（1）根据展开式的通项即可求出二项式系数最大的项，
（2）若第r+1项T_r+1的系数的绝对值最大，得到关于r的不等式组，解得即可．

解答 解：∵M+N-P=4ⁿ+2ⁿ⁺⁵-2ⁿ=（2ⁿ）²+31•2ⁿ=2016，
∴（2ⁿ）²+31•2ⁿ-2016=0，
∴（2ⁿ+63）（2ⁿ-32）=0，
∴2ⁿ=32，
∴n=5，
∴${（2{x^2}-\frac{1}{x^2}）^{10}}$的展开式的通项${T_{r+1}}=C_{10}^r{（2{x^2}）^{10-r}}{（-\frac{1}{x^2}）^r}={（-1）^r}{2^{10-r}}C_{10}^r{x^{20-4r}}$，
（1）${（2{x^2}-\frac{1}{x^2}）^{10}}$的展开式共有11项，二项式系数最大的项为中间项第6项，其值为${T_6}={（-1）^5}{2^5}C_{10}^5=-8064$，
（2）第r+1项T_r+1的系数的绝对值为${A_{r+1}}={2^{10-r}}C_{10}^r$，
若第r+1项T_r+1的系数的绝对值最大，则{$\begin{array}{l}{A_{r+1}}≥{A_r}\\{A_{r+1}}≥{A_{r+2}}\end{array}$，
可得$\frac{8}{3}≤r≤\frac{11}{3}$，又r∈N^*，∴r=3，
故系数的绝对值最大的项为${T_4}={（-1）^3}{2^7}C_{10}^3{x^8}=-15360{x^8}$．

点评 本题考查二项展开式的二项式系数的性质；利用二项展开式的通项公式求展开式的特定项．