Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是同一平而内的三个向量，其中$\overrightarrow{a}$=（1，-1）．
（1）若|$\overrightarrow{c}$|=3$\sqrt{2}$，且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，求向量$\overrightarrow{c}$的坐标；
（2）若|$\overrightarrow{b}$|=1，且$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ．

Answer 1

分析 （1）设向量$\overrightarrow{c}$的坐标为（m，n），运用向量模的公式和向量共线的坐标表示，解方程即可得到所求向量；
（2）运用向量垂直的条件：数量积为0，由向量的夹角公式，计算即可得到所求夹角．

解答 解：（1）设向量$\overrightarrow{c}$的坐标为（m，n），
|$\overrightarrow{c}$|=3$\sqrt{2}$，且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a}$=（1，-1），
可得m²+n²=18，-m=n，
解得m=3，n=-3或m=-3，n=3，
即有向量$\overrightarrow{c}$的坐标为（3，-3）或（-3，3）；
（2）若|$\overrightarrow{b}$|=1，且$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），
可得$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=0，
即有$\overrightarrow{a}$²=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|²=$\frac{1}{2}$×2=1，
即有cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}×1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0≤θ≤π，可得θ=$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查向量共线和垂直的条件，考查向量数量积的夹角公式，以及运算能力，属于中档题．