Question

5．已知$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=2$
（1）求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角；
（2）求证：$（{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}）⊥\overrightarrow a$．

Answer 1

分析 （1）根据条件可得出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}=4$，进而得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-2$，从而求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值，从而得出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角；
（2）容易求出$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}=0$，从而证出$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{a}$．

解答 解：（1）据条件：
$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}$
=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$
=$4+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4$
=4；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-2$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{-2}{2×2}=-\frac{1}{2}$；
又$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞∈[0，π]$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$；
（2）证明：
∵$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=4-4=0$；
∴$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{a}$．

点评 考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件．