题目内容

15．设定点F1（0，2），F2（0，-2），动点P满足条件$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=a+\frac{4}{a}（a＞0）$，则点P的轨迹是（　　）
A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段

分析 定点F1（0，2），F2（0，-2），动点P满足条件$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=a+\frac{4}{a}（a＞0）$，利用基本不等式的性质可得：|PF1|+|PF2|≥4，当且仅当a=2时取等号．即可得出轨迹方程．

解答 解：∵定点F1（0，2），F2（0，-2），动点P满足条件$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=a+\frac{4}{a}（a＞0）$，
∴|PF1|+|PF2|≥2$\sqrt{a×\frac{4}{a}}$=4，当且仅当a=2时取等号．
①|PF1|+|PF2|＞4=|F1F2|，其轨迹为椭圆．
②|PF1|+|PF2|=4=|F1F2|，其轨迹为线段F1F2．
则点P的轨迹是椭圆或线段．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的定义、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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